Testi ed esercizi consigliati

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P. Loreti - Dispensa del corso di Analisi Matematica

P. Marcellini, C. Sbordone - Esercitazioni di Matematica - Liguori Editore.

Alcuni grafici di funzioni in due variabili.

Foglio di esercizi riguardante le prime dodici settimane di lezione.

Esercizi del tutoraggio, a cura di Andrea Bendinelli

Testo della simulazione d'esame proposta a lezione il 15 dicembre.

Diario delle lezioni

Settembre:
21-09-15 Teoria degli insiemi: insiemi e loro definizioni, operazioni insiemistiche fondamentali e loro proprieta', formule di De Morgan, prodotto cartesiano. Insiemi numerici, proprieta' algebriche di Q. Densità di Q.

22-09-15 Radice di 2 non appartiene a Q, ordinamenti decimali, definizione di numeri reali. Intervalli, retta estesa, l'intersezione di due intervalli è un intervallo.
23-09-15 Intersezioni di intervalli chiusi e aperti, valore assoluto e sua relazione con intervalli, diseguaglianza triangolare (con dimostrazione).
24-09-15 Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz e diseguaglianza di Young (con dimostrazioni). Sommatorie. Principio di induzione.
28-09-15 Maggioranti, minoranti,massimo e minimo di un insieme. Unicità del massimo e del minimo. Estremo superiore ed inferiore. Assioma di completezza ed esistenza di sup ed inf per insiemi reali. Definizione di radice n-ma, esponenziale, logaritmo. Esempi.
29-09-15 Definizione di funzione, dominio, codominio, grafo, immagine. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, esempi. Dominio naturale. Funzioni elementari e loro dominio naturale.
30-09-15 Ancora sulle funzioni elementari: dominio naturale di potenze reali e logaritmo. Altre funzioni di base: identità, restrizione, proiezione, successioni. Composizione di funzioni e loro dominio naturale. La composizione non è commutativa. Esempi.

Ottobre:
1-10-15 Immagine delle funzioni elementari. Funzione inversa, inversa di funzioni ristrette ad un sottoinsieme del dominio. Inversa delle principali funzioni trigonometriche. Esempi.
5-10-15 funzioni monotone, monotonia e invertibilità, somma, prodotto, inversa, composizione di funizioni monotone,funzioni pari, dispari, periodiche.
6-10-15 Grafico di funzioni elementari e loro traslazlazioni e riscalementi. Distanza, distanza euclidea, intorni sferici e loro proprietà,
7-10-15 Intorni nella retta estesa, punti di accumulazione, punti isolati, teorema di Bolzano-Weierstrass, nozione di propriet&a che vale definitivamente.
8-10-15 Definizione di limite, esempi, sen(x) non ammette limite, algebra dei limiti finiti, limite di funzioni razionali.
12-10-15 Definizione di limite destro e sinistro ,teorema di esistenza del limite per funzioni monotone, limiti di funzioni elementari, algebra parziale dei limiti infiniti, gerarchia degli infiniti.
13-10-15 Teorema del confronto, teorema di locale limitatezza (con dimostrazione), teorema della permanenza del segno, funzioni asintotiche, teorema di esistenza del limite per funzioni composte ,limiti notevoli.
14-10-15 Funzioni infinitesime, infinite, asintotiche. Ordini di infiniti e infinitesimi, simbolo di Landau "o piccolo".
19-10-15 Simbolo di Landau "o piccolo", algebra degli "o piccoli", esempi.
20-10-15 Successioni, successioni convergenti, divergenti, irregolari. Principali risultati sulla convergenza di successioni (teorema del confronto, di permanenza del segno, di convergenza di successioni limitate e monotone, di limitatezza per successioni convergenti). Fattoriale, numero di Nepero, successioni delle somme parziali, definizione di serie numerica.
21-10-15 Serie convergenti ,divergenti, irregolari. Condizione necessaria di convergenza (con dimostrazione), regolarità di serie a termini positivi. Divergenza di serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1( con dimostrazione).
22-10-15 Serie armonica generalizzata ,serie geometrica, criterio confronto, confronto asintotico, rapporto, radice per successioni a termini non-negativi.
26-10-15 Somma della serie geometrica e della serie di Mengoli. Serie a termini generali, convergenza assoluta, criterio di Leibnitz. Cenni di topologia in R: insiemi aperti, chiusi, frontiera, interno e chiusura di un insieme. Asintoti di una funzione a variabile reale.
27-10-15 Funzione continua, continuità a destra e sinistra. Funzioni di classe C0, chiusura di C0 rispetto ad alcune operazioni algebriche e rispetto alla composizione. Classificazione dei punti di discontinuità, caratterizzazione dei punti di discontinuità di funzioni monotone. Esempi.
28-10-15 Teoremi sulla continuità: esistenza degli zeri, esistenza di soluzioni di equazioni a termini continui (con dimostrazione), monotonia di funzioni invertibili e continue, valori intermedi, continuità della funzione inversa, esempi. Richiami di tipologia in R, teorema di Weierstrass. Esempi.
29-10-15 Definizione di funzione derivabile in un punto, in un intervallo, funzione derivata. Caratterizzazione del segno della derivata di funzioni monotone. Interpretazione geometrica e interpretazione fisica (come velocità istantanea) della derivata in un punto. Esempi. Continuit&a di funzioni derivabili. Punti di non derivabilit&a. Derivata destra e sinistra. Derivata di funzioni di base, principali regole di derivazione (derivata del prodotto, regola della catena). Esempi.

Novembre:
2-11-15 Derivata della funzione inversa, punti stazionari, estremi locali, teorema di Fermat (con dimostrazione), caratterizzazione degli estremi locali di una funzione. Teorema di Rolle, Teorema di Lagrange. Derivate di ordine superiore. Derivata seconda e sua relazione con la convessità di una funzione, caratterizzazione punti di minimo.
3-11-15 Esempio dello studio di una funzione: il seno iperbolico. Polinomio di Taylor con resto di Peano. Esempi
4-11-15 Polinomio di Taylor di alcune funzioni di base, calcolo dei limiti con gli sviluppi di Taylor, resto di Lagrange.
5-11-15 Ancora sugli sviluppi di Taylor con il resto di Lagrange. Serie di Taylor. Raggio di convergenza delle serie di Taylor per alcune funzioni di base. Esempi.
9-11-15 Teorema di de l'Hopital. Numeri complessi:definizione, inverso, modulo, coniugato, parte reale ed immaginaria. Notazione trigonometrica, formule di de Moivre, notazione esponenziale, radici complesse. Esempi.
10-11-15 Teo fondamentale dell'algebra, radici di polinomi a coefficienti reali. Suddivisioni, somme inferiori, somme superiori, integrale di Riemann.
11-11-15 Condizioni sufficienti di integrabilità, proprietà degli integrali. Teo della media (con dimostrazione), definizione di valor medio, funzione integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale.
12-11-15 Dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale, studio della funzione integrale, primitive, integrale indefinito. Esempi. Caratterizzazione primitive, calcolo degli integrali definiti. Integrali immediati, integrazione per parti e per sostituzione. Esempi.
16-11-15 Esercizi su integrali per parti e sostituzione. Integrali di funzioni razionali.
17-11-15 Decomposizione di Hermite. Definizione di integralibilità in senso improprio.
18-11-15 Criteri di convergenza per gli integrali impropri: criterio del confronto, confronto asintotico, confronto con serie numeriche. Convergenza assoluta. La convergenza non implica la convergenza assoluta: studio del caso

19-11-15 Introduzione ai modelli di crescita e ai modelli preda-predatore: modello di Malthus, equazione logistica, equazione di Lotka-Volterra. Un esempio di problema di controllo ottimo associato all'equazione logistica: un modello per il rendimento di un'azienda ittica. Equazioni differenziali ordinarie al primo e secondo ordine: definizione, prime classificazioni, problema di Cauchy. Soluzioni di equazioni lineari al primo ordine omogenee e soluzione del problema di Cauchy associato.
23-11-15 Metodi per equaziondi differenziali ordinarie lineari al 1° ordine: variazione delle costanti e metodi ad hoc per la ricerca di una soluzione particolare. Equazioni differenziali a variabili separabili e problema di Cauchy associato: teorema di esistenza e unicità delle soluzioni.
24-11-15 Equazioni differenziali ordinarie al 2° ordine lineari e problema di Cauchy associato. Teorema esistenza e unicità delle soluzioni. Soluzioni di equazioni a coefficienti costanti: metodo della variazione delle costanti.
25-11-15 Soluzioni di equazioni a coefficienti costanti: metodo della variazione delle costanti e metodi ad hoc. Elementi di topologia in : intorni sferici, richiami su insiemi aperti, chiusi, frontiera di un insieme, insiemi illimitati. Esempi.
26-11-15 Il simbolo , punti di accumulazione. Dominio naturale di funzioni in due variabili. Esempi. Definizione di limite di funzione in due variabili e di funzione continua. Proprietà dei limiti e delle funzioni continue. Teorema del confronto. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Calcolo dei limiti: cambio di variabile, applicazioni del teorema del confronto, cambio di coordinate, coordinate polari.
30-11-15 Successioni e sottosuccessioni in : criterio di Cauchy, teorema ponte per i limiti di funzioni a variabili reali. Insiemi compatti, teo di Weierstrass in . Derivate direzionali, derivate parziali, gradiente, proprietà elementari del gradiente.

Dicembre:
1-12-15 Esempi di funzioni con dominio in . Differenziabilità, proprietà funzioni differenziabili. Esempi. Teorema del differenziale totale.
2-12-15 Esercizi su continuità, derivabilità e differenziabilità di funzioni in due variabili.
3-12-15 Altre proprietà delle funzioni diffenziabili. Interpretazione del gradiente come direzione di massima crescita. Estremi di funzioni in due variabili, punti critici, teorema di Fermat. Derivate parziali di ordine superiore, funzioni due volte differenziabili, matrice hessiana, teorema di Schwarz. Gli autovalori della matrice hessiana di una funzione due volte differenziabile sono reali.
9-11-15 Forme quadratiche, forme quadratiche definite positive, definite negative, semidefinite, indefinite. Esempi. Caratterizzazione delle forme quadratiche tramite gli autovalori delle matrici associate. Teorema di caratterizzazione dei punti critici di funzioni in due variabili. Esempi.
10-11-15 Un esempio sullo studio di punti critici di funzioni a due variabili. Integrali doppi: definizione, prime proprietà. Formule di riduzione per domini rettangolari. Integrali su domini generali. Domini semplici. Misura di un dominio semplice. Formule di riduzione per domini semplici. Esempi.
14-12-15 Insiemi di misura nulla: definizione. L'insieme costituito da un solo punto ha misura nulla (con dimostrazione). Grafici di funzioni integrabili e unioni numerabili di insiemi di misura nulla hanno misura nulla. Matrice Jacobiana, cambiamento di coordinate negli integrali doppi. Coordinate polari. Esempi.
15-12-15 Esercitazione.
16-12-15 Correzione dell'esercitazione.