Diario delle lezioni

Settembre:

24-09-18 Teoria degli insiemi: insiemi e loro definizioni, operazioni insiemistiche fondamentali e loro proprieta', formule di De Morgan, prodotto cartesiano. Insiemi numerici, proprieta' algebriche di Q. Densità di Q.

25-09-18 Radice di 2 non appartiene a Q (con dimostrazione), ordinamenti decimali, definizione di numeri reali e loro proprietà algebriche, densità di R. Intervalli, retta estesa, valore assoluto e sua relazione con intervalli, l'intersezione di due intervalli è un intervallo.

27-09-18 Applicazioni tra insiemi. Dominio, immagine, controimmagine e grafico. Comportamento su unioni, intersezioni e passaggi a complementare. Applicazioni iniettive e suriettive. Composizione di applicazioni. Applicazione inversa con condizione necessaria e sufficiente. Funzioni reali di variabile reale, funzioni pari, funzioni dispari e periodiche. Funzioni crescenti/decrescenti (strettamente e non strettamente). Funzioni polinomiali di primo e secondo grado. Funzioni polinomiali di grado superiore al secondo. Funzioni razionali e loro dominio naturale. Funzioni irrazionali e loro dominio naturale. Funzioni esponenziali (proprietà delle potenze). Funzioni logaritmiche (proprietà dei logaritmi).

28-09-18 Funzioni seno e coseno con proprietà. Funzioni tangente e cotangente. Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche principali. Alcune composizioni notevoli. Riscalamenti e traslazioni. Moduli. Effetti prodotti sui grafici. Esercizi di riepilogo

Ottobre:
1-10-18 Maggioranti, minoranti,massimo e minimo di un insieme. Unicità del massimo e del minimo. Estremo superiore ed inferiore. Assioma di completezza ed esistenza di sup ed inf per insiemi reali. Definizione di radice n-ma, esponenziale, logaritmo.

2-10-18 Distanza, distanza euclidea, intorni sferici e loro proprietà, intorni nella retta estesa. Punti di accumulazione, punti isolati.

4-10-18 Disuguaglianze triangolari, disuguaglianza di Cauchy e Young (questa ultima senza dimostrazione). Completezza dei numeri reali (ripasso). Principio di Archimede, parte intera di un numero reale, densità dei numeri razionali nei reali (ripasso con dimostrazione). Radici, potenze e logaritmi utilizzando la completezza (ripasso). Funzioni limitate superiormente, inferiormente. Estremo superiore ed inferiore di una funzione. Topologia della retta reale, spazi metrici e topologia indotta dalla metrica. Insiemi Aperti, insiemi Chiusi, chiusura di un Insieme, parte interna, frontiera, punti di accumulazione. Esempi ed esercizi.

5-10-18 Principio di induzione (enunciato numerico/insiemistico e proposizionale). Sommatorie, disuguaglianza di Bernulli, disuguaglianza triangolare estesa ad n addendi. Esercizi sull’utilizzo del principio di induzione. Definizione per ricorrenza. Calcolo combinatorio: fattoriale, coefficiente binomiale, cardinalità dell’insieme delle parti di un insieme avente n elementi con la formula del binomio di Newton.

8-10-18 Principio di induzione (enunciato numerico/insiemistico e proposizionale). Sommatorie, disuguaglianza di Bernulli, disuguaglianza triangolare estesa ad n addendi. Punto di accumulazione e proprietà che valgono definitivamente. Esempi.

9-10-18 Definizione di limite. Funzioni infinite e infinitesime. Esempi.

11-10-18 Definizione di limite. Funzioni infinite e infinitesime. Esempi. Definizione di successione, successioni limitate (superiormente ed inferiormente), successioni monotone. Sottosuccessioni. Successioni che verificano definitivamente una determinata proprietà. Definizioni di limite per successioni, successioni convergenti, successioni divergenti (positivamente e negativamente), successioni irregolari. Unicità del limite. Proprietà dei limiti rispetto alle usuali operazioni algebriche. Forme indeterminate e come si gestiscono. Limiti notevoli. Teoremi di confronto (teorema dei carabinieri). Calcolo di alcuni limiti.

12-10-18 Teorema di unicità del limite (con dimostrazione). Teorema di locale limitatezza. Punto di accumulazione destro e sinistro, limite destro e sinistro. Criterio di esistenza del limite. Teorema della permanenza del segno (con dimostrazione). Esempi: funzione segno, valore assoluto, 1/x. Algebra dei limiti finiti. Esempi.

15-10-18 Teorema del confronto. Confronto con funzioni illimitate superiormente ed inferiormente. Esempi. Aritmetica parziale della retta estesa. Esempi. Esistenza del limite per funzioni monotone.

16-10-18 Sottosuccessioni e limiti. Successioni di Cauchy e relative proprietà anche in relazione alle sottosuccessioni. La successione che converge al numero e (monotonia e limitatezza). Teorema di Bolzano-Weierstrass (con dimostrazione). Teorema di completezza dei numeri reali. Esercizi sui limiti ed ulteriori esempi.

18-10-18 Limite della radice n-esima di n. Teorema ponte. Definizione di serie. Le serie sono successioni e le successioni sono serie. Condizione necessaria ma non sufficiente per convergenza di serie qualsiasi. Serie telescopica. Serie geometrica. La serie di termine generale 1/n diverge. Classificazione serie armoniche ad esponente reale (senza dim). Criterio di confronto. Criterio di confronto asintotico. Esempi ed esercizi.

19-10-18 Criterio della radice e del rapporto con esempi e controesempi. Esercizi di ripasso sulle serie e sul calcolo dei limiti.

22-10-18 Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Applicazioni: limiti di potenze, funzioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche. Teorema di esistenza del limite per le funzioni composte e cambio di variabile per il calcolo del limite. Limiti notevoli. Esempi

23-10-18 Funzioni infinitesime, infinite, asintotiche. Ordini di infiniti e infinitesimi, simboli di Landau.

23-10-18 Convergenza semplice ed assoluta. Serie a termini di segno alterno e criterio di convergenza di Leibniz. Numeri complessi: forma cartesiana e proprietà di campo commutativo. Coniugato, norma e inverso di un numero complesso. Forma polare ed esponenziale dei numeri complessi e loro proprietà. Esempi. Teorema fondamentale dell'algebra. Radici dell'unità e radice n-esime di un numero complesso (con dimostrazione). Equazioni sul campo complesso.

Novembre:

2-11-18 Funzione continua, continuità a destra e sinistra. Funzioni di classe C0, chiusura di C0 rispetto ad alcune operazioni algebriche e rispetto alla composizione. Classificazione dei punti di discontinuità, caratterizzazione dei punti di discontinuità di funzioni monotone. Esempi. Teoremi sulla continuità (prima parte): Teorema di esistenza degli zeri e ottimalità delle sue ipotesi, esistenza di soluzioni di equazioni a termini continui (con dimostrazione).

5-11-18 Teoremi sulla continuità (seconda parte): monotonia di funzioni invertibili e continue, valori intermedi, continuità della funzione inversa, esempi. Richiami di topologia in R, teorema di Weierstrass. Approssimazioni lineari, definizione di funzione derivabile in un punto, in un intervallo, funzione derivata. Interpretazione geometrica e interpretazione fisica (come velocità istantanea) della derivata in un punto. Esempi. Continuit&a di funzioni derivabili e un controesempio.

6-11-18 Punti di non derivabilit&a. Derivata destra e sinistra. Derivata di funzioni di base, principali regole di derivazione (derivata del prodotto, regola della catena). Esempi. Derivata della funzione inversa. Esempi.

8-11-18 Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy (tutti con dimostrazione). Punti stazionari. Conseguenze dirette del teorema di Lagrange, legame tra segno della derivata prima e carattere monotono della funzione, definizione di primitiva ed unicità a meno di costanti additive, teorema di De l'Hopital. Applicazioni allo studio del grafico di funzione con anticipazioni riguardo derivata prima. Esercizi.

9-11-18 Crescenza, decrescenza in un punto tramite segno del rapporto incrementale (concetto locale). Segno della derivata in un punto. Massimi e minimi relativi (forti e deboli) in relazione al comportamento della derivata. Flessi a tangente orizzontale (anticipazioni). Esercizi.

12-11-18 Polinomio di Taylor con resto di Peano. Esempi.

13-11-18 Algebra degli "o piccolo". Polinomio di Taylor di alcune funzione di base e di funzioni composte. Applicazioni al calcolo dei limiti.

15-11-18 Riepilogo lezione del 9-11. Concavità, convessità e segno della derivata seconda. Punti di flesso. Esercizi sullo studio del grafico di funzione. Funzioni uniformemente continue. Funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato sono uniformemente continue. Funzioni Lipischitziane. Funzioni con derivata prima limitata. Funzioni a derivata limitata sono Lipischitziane e, conseguentemente, uniformemente continue.

16-11-18 Partizione ed ampiezza di partizione. Somme parziali superiori ed inferiori. Disuguaglianze tra somme parziali superiori ed inferiori. Classe di somme parziali. Proprietà di separazione. Concetto di integrale come elemento separatore per le classi di somme parziali al variare della partizione. Integrabilità di funzioni continue. Linearità e proprietà anesse. Monotonia e teorema della media (con dimostrazione).

19-11-18 Uso del polinomio di Taylor nel calcolo dell'ordine degli infinitesimi. Resto di Lagrange. Serie di Taylor.

20-11-18 Raggio di convergenza delle serie di Taylor per alcune funzioni di base. Esempi. Modellistica matematica: modello di crescita Malthusiano.

22-11-18 Definizione di integrale definito con estremi non ordinati, proprietà di linearità, teorema della media. Primitive (reprise) e teorema fondamentale del calcolo integrale, con dimostrazione. Integrale indefinito e sue proprietà derivanti dalle regole di derivazione. Formula di integrazione per parti e sostituzione. Formule di integrazione per integrali definiti. Esercizi.

26-11-18 Modellistica matematica: equazione logistica, equazione di Lotka-Volterra. Un esempio di problema di controllo ottimo associato all'equazione logistica: un modello per il rendimento di un'azienda ittica. Equazioni differenziali ordinarie al primo e secondo ordine: definizione, prime classificazioni, problema di Cauchy. Soluzioni di equazioni lineari al primo ordine omogenee e soluzione del problema di Cauchy associato.

27-11-18 Metodi per equaziondi differenziali ordinarie lineari al 1° ordine: variazione delle costanti e metodi ad hoc per la ricerca di una soluzione particolare.

29-11-18 Topologia di R2. Palle aperte, palle chiuse. Insiemi aperti, insiemi chiusi. Successioni di punti nel piano. Successioni convergenti e di cauchy. Studiare una successione di punti nel piano o nello spazio equivale allo studio delle sue componenti, che sono successioni di numeri reali. Caratterizzazione dei chiusi tramite successioni. Funzioni di due variabili. Domini, esempi ed esercizi. Limite di funzione di due variabili tendendo ad un punto di accumulazione. Continuità. Limite vs continuità. Esercizi. Derivate parziali e derivate direzionali. Il gradiente. Esercizi. variazione delle costanti e metodi ad hoc per la ricerca di una soluzione particolare.

30-11-18 Riepilogo della lezione precedente. Per una funzione continua la controimmagine della singoletta e un chiuso. Ancora domini di funzioni di due variabili e classificazione topologica. Coordinate polari nel piano, pregi e difetti, precauzioni per l'uso. Definizione di applicazione lineare tra spazi vettoriali in dimensione finita, kernel ed immagine sono spazi vettoriali (lasciato per esercizio). Funzionali lineari da R2 in R. Un funzionale è noto quando conosco come trasforma i vettori della base canonica di R2. Differenziabilità. Differenziale e piano tangente di una funzione differenziabile.

Dicembre:
3-12-18 Teorema di esistenza e unicità delle soluzioni del problema di Cauchy associato ad equazioni differenziali al primo ordine. Equazioni differenziali a variabili separabili ed esistenza ed unicita&grave problema di Cauchy associato.
4-12-18 Equazioni differenziali ordinarie al secondo ordine lineari e problema di Cauchy associato. Teorema esistenza e unicità delle soluzioni. Soluzioni di equazioni omogenee a coefficienti costanti.

6-11-18 Riepilogo della lezione precedente. Una funzione differenziabile in un punto ammete derivate in ogni direzione nello stesso punto. Formula del gradiente per derivate direzionali in un punto. Caso particolare delle derivate parziali e scrittura del differenziale. Piano tangente. Derivabilità vs differenziabilità in due variabili ricordando la situazione in una variabile. Sezioni parallele all'asse z del grafico di una funzione di due variabili e derivate direzionali. Una funzione differenziabile è continua. Una funzione derivabile in un punto come derivate parziali continue in un intorno del punto stesso è differenziabile. Esercizi su continuita&grave/derivabilita&grave/ derivate direzionali/differenziabilita&grave.