PROGRAMMA ANALISI MATEMATICA I ( 2 modulo )

A.A. 2005-2006 Prof.ssa B. Germano

1 .Teoria dell’integrazione. Definizione di funzioni primitive e teorema (con dim.). Definizione dell’integrale di Riemann e sue proprietà. Significato geometrico. Teoremi della media (con dim.),additività,confronto. Integrali definiti, additività (con dim.). Teorema di Torricelli-Barrow (con dim.). Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim.). Alcuni metodi di integrazione ( integrali elementari, decomposizione in somma,  funzioni razionali, funzioni trigonometriche). Integrazione per parti e per sostituzione per integrali indefiniti e definiti. Integrali impropri per funzioni non negative, integrabilità, criterio del confronto.

2 . Approssimazione di una funzione. Formula di Taylor con il resto di peano (con dim.), resto di Lagrange. Curve regolari e generalmente regolari. Retta tangente ad una curva regolare. Lunghezza di un arco di curva.Ascissa curvilinea.

3. Funzioni di più variabili

Elementi di topologia nel piano. Insieme di definizione e funzioni reali in due o più variabili. Limiti e continuità. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue.Teorema di esistenza degli zeri per funzioni di due variabili (dim).

4. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili

Derivate parziali. Funzioni differenziabili,differenziale totale. Derivazione delle funzioni composte. Funzioni con derivate parziali nulle (dim.) . Massimi e minimi relativi , massimi e minimi assoluti.

Superfici regolari e generalmente regolari.Derivata direzionale,gradiente.rotore e divergenza

5. Successioni e serie di funzioni

Convergenza e convergenza uniforme per le successioni di funzioni. Teoremi del limite,di derivazione , di integrazione per le successioni. Definizione di serie di funzioni, convergenza semplice e convergenza uniforme per le serie di funzioni. Teoremi del limite.di derivazione,di integrazione per le Serie. Convergenza totale. Serie di Taylor. Alcuni sviluppi notevoli.

Calcolo di integrali mediante sviluppo in serie,cenni.

6. Serie di potenze e Serie di Fourier

Serie di potenze nel campo reale.Teoremi di convergenza (dim.). Raggio di convergenza. Teorema di Abel.Somma della serie di potenze.

Testi consigliati:

 N.Fusco-P.Marcellini-C.Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due

Versione semplificata per i nuovi corsi di Laurea. Edizioni Liguori.

A.Ghizzetti-F.Rosati Analisi Matematica vol. 1,2 Edizione Zanichelli.

P.Marcellini-C.Sbordone, Esercitazioni di Matematica, I volume, parte seconda. Edizioni Liguori.

M.Amar-A.M.Bersani, Esercizi di Analisi Matematica. Edizioni Progetto Leonardo-Bologna.

Si tenga presente che in ogni caso qualunque testo di esercizi, anche al di fuori di questi segnalati,va bene.

Durante il corso inoltre verranno assegnati esercizi integrativi di tipo esame.