Domanda 6

Consideriamo tre punti A, B, C e D non complanari.

Quante sono le sfere passanti per essi?

Dove si trovano i loro centri?

Cerchiamo innanzitutto le sfere passanti per A, B e C.

Sappiamo che i loro centri stanno sulla retta r intersezione dei piani asse dei segmento BC, AC e AB.

Cerchiamo ora le sfere passanti per tutti e quattro i punti A, B, C e D.

I loro centri devono appartenere alla retta r e devono essere equidistanti da A e D.

E quindi devono appartenere all’intersezione della retta r con il piano asse del segmento AD.

L’intersezione è data da un punto. Esiste quindi una sola sfera passante per i quattro punti.

Cliccando sulla figura si possono muovere i punti A, B, C e D.

Abbiamo risposto alla nostra domanda.

Dati quattro punti A, B, C e D non complanari, esiste una ed una sola sfera passante per essi.

Il suo centro è dato dall’intersezione dei piani assi dei segmenti BC, AC, AB, AD.

Osserviamo che il centro di questa sfera passante per A, B, C e D è equidistante dai punti A, B, C e D.

Appartiene quindi ai piani asse dei sei lati del tetraedro ABCD.

Abbiamo dimostrato un teorema analogo al teorema sulla circonferenza circoscritta ad un triangolo.

Teorema

Dato un tetraedro qualsiasi, i piani asse dei suoi sei lati si intersecano in un punto. Quest’ultimo è centro dell’unica sfera passante per i vertici del tetraedro.

La sfera passante per i quattro vertici del tetraedro si dice sfera circoscritta al tetraedro. Il suo centro si dice circocentro del tetraedro.

Lasciamo infine la seguente domanda al lettore:

Sia dato un tetraedro. Per ognuna delle sue sei facce si consideri la circonferenza passante per i suoi tre vertici. Che relazione c’è tra queste sei circonferenze e la sfera circoscritta al tetraedro?