CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

 PROGRAMMA INDICATIVO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2

A.A. 2023-2024

LORENZO GIACOMELLI E TOMMASO LEONORI


Tutti gli argomenti si intendono comprensivi di definizioni, proprietà, enunciati, esempi, contro-esempi, applicazioni e, per le parti sottolineate, dimostrazioni.

Testi consigliati: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli - Analisi Matematica (seconda edizione) - McGraw-Hill, 2011.

Il programma non viene svolto nell'ordine in cui è stilato. Per informazioni sull'ordine si veda il calendario indicativo delle lezioni.


FUNZIONI DI PIU' VARIABILI REALI A VALORI REALI

Introduzione. R^N. Punti e vettori (applicati) in R^N, rappresentazioni, operazioni. Modulo e distanza (euclidea). Coordinate polari. Funzioni da R^N in R: dominio naturale, immagine, grafico. Simmetria di rotazione rispetto a un asse. Simmetrie pari o dispari rispetto a un asse (in R^2) o rispetto a un punto. Insiemi di livello. Intorni sferici, punti di accumulazione. (R^N)^*. Intorni di infinito. Definizione di limite. Continuità. Proprietà elementari del limite e delle funzioni continue. Cenni di topologia in R^N: punti interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi limitati.  Caratterizzazione degli insiemi chiusi. Insiemi compatti. Teorema di Weierstrass. Insiemi connessi (per archi). Teorema dei valori intermedi. Derivate direzionali. Derivate parziali. Gradiente. Funzioni derivabili. Proprieta` elementari delle derivate parziali e del gradiente. Le funzioni derivabili non sono continue se N>1. Funzioni differenziabili. Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Continuità, derivabilità e derivate direzionali delle funzioni differenziabili. Proprietà elementari delle funzioni differenziabili. Il teorema del differenziale totale. Il gradiente come direzione di massima crescita.  Regole della catena per funzioni composte con funzioni e con curve. Punti critici (stazionari). Il Teorema di Fermat. Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Il Teorema di Peano al secondo ordine. Matrici (semi-)definite positive (negative), indefinite e loro autovalori. Caratterizzazione delle matrici (semi-)definite positive (negative) o indefinite in R^2. Natura dei punti critici. Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili (tramite lo studio della matrice hessiana o tramite la definizione). Integrali dipendenti da un parametro: definizione, continuità e derivabilità. Funzioni di più variabili a valori vettoriali. Differenziabilità e differenziale. Regola della catena. Insiemi convessi. Funzioni convesse. Criterio differenziale di convessità.

FUNZIONI IMPLICITE ED ESTREMI VINCOLATI

Estremi vincolati in R^2. Determinazione degli estremi vincolati in R^2: metodo diretto. Punto regolare di un insieme di livello. Il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2 (enunciato qualitativo). Il gradiente e` ortogonale all'insieme di livello in un suo punto regolare.  Retta tangente a un insieme di livello in un suo punto regolare. Estremi vincolati in R^2. Determinazione degli etremi locali vincolati in R^2: metodo ad-hoc. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^2. Determinazione degli estremi assoluti vincolati in R^2: metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Massimi e minimi assoluti su un insieme compatto: metodo diretto e metodo dei moltiplicatori. Il teorema di Dini in R^3 con un vincolo (enunciato qualitativo). Il gradiente è ortogonale all'insieme di livello in un suo punto regolare. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^3 con un vincolo. Il teorema di Dini in R^3 con due vincoli (enunciato qualitativo).  Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^3 con due vincoli. Estremi vincolati di funzioni di tre variabili con uno o due vincoli.

INTEGRALI MULTIPLI

Integrali doppi su rettangoli. Proprietà e teorema della media integrale, classi di funzioni integrabili. Formule di riduzione sui rettangoli. Insiemi misurabili del piano. Insiemi non misurabili. Classi di insiemi misurabili. Integrali doppi e integrabilità su insiemi misurabili. Proprietà, teorema della media integrale, classi di funzioni integrabili.  Domini semplici in R^2. Area di un dominio semplice.  Formule di riduzione sui domini semplici. Utilizzo di simmetrie nel calcolo di integrali doppi. Domini ammissibili (ovvero scomponibili in domini semplici). Esempi di scomposizione in domini semplici. Centro d'area di un insieme nel piano. Massa e centro di massa di una lamina non omogenea. Centro d'area di insiemi simmetrici rispetto a una retta. Baricentro di baricentri. Momenti secondi rispetto a un asse nel piano. Baricentro di baricentri. Il baricentro come punto di minima inerzia di una lamina. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Matrice jacobiana, determinante jacobiano, interpretazione geometrica. Coordinate polari. Coordinate ellittiche. Altri esempi di calcolo di integrali. Altri cambi di coordinate. 
Integrali tripli. Proprietà. Volume, centro d'area, massa e centro di massa di un solido. Momenti secondi (di inerzia). Integrazione per fili. Integrazione per strati. Solidi di rotazione. Volume di solidi di rotazione. Cambiamenti di variabile negli integrali tripli. Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche. Coordinate ellissoidali.

CURVE E INTEGRALI DI FUNZIONI SU CURVE (I SPECIE)

Curva. Rappresentazione di una curva. Sostegno. Orientazione di una curva. Curva piana. Curva semplice. Curva chiusa. Curva cartesiana. Curva polare. Vettore velocità e sua rappresentazione.  Velocità scalare. Curva regolare. Vettore e versore tangente a una curva. Retta tangente al sostegno di una curva. Vettore accelerazione. Accelerazione scalare. Regole della catena per funzioni composte con curve. Lunghezza di una curva. Curva rettificabile. Formula integrale per il calcolo della lunghezza. Integrale curvilineo di una funzione (di prima specie). Cambiamenti di parametrizzazione ammissibili. Curve equivalenti (con lo stesso verso, con verso opposto). L'integrale curvilineo di prima specie è invariante per curve equivalenti. Ascissa curvilinea.

CAMPI VETTORIALI, FORME DIFFERENZIALI E LORO INTEGRAZIONE SU CURVE (II SPECIE)

Campi vettoriali: proprietà di base, rappresentazione grafica. Forme differenziali e lavoro di un campo vettoriale. Integrale di un campo vettoriale lungo una curva (o integrale curvilineo di II specie) e lavoro di un campo vettoriale. Proprietà.  Il lavoro cambia segno insieme al verso della curva. Prima relazione tra integrali curvilinei di I specie e integrali curvilinei di II specie. Forme differenziali esatte e campi vettoriali conservativi. L'integrale curvilineo di un campo conservativo dipende solo dagli estremi del cammino. Caratterizzazione dei campi conservativi. Determinazione della funzione potenziale. Calcolo del lavoro di un campo vettoriale conservativo. Rotore di un campo vettoriale in R^2 e in R^3.  Forme differenziali chiuse e campi vettoriali irrotazionali. I campi vettoriali conservativi di classe C^1 sono irrotazionali, ma il viceversa e` falso: il campo magnetico generato da un filo elettrico rettilineo infinito. Curve omotope. Insieme semplicemente connesso. I campi irrotazionali su insiemi semplicemente connessi sono conservativi. Divergenza di un campo vettoriale. Campi radiali: funzione potenziale e divergenza. Notazione di Einstein.

SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE

Superfici (elementari). Parametrizzazione. Superfici cartesiane. Punti interni e bordo di una superficie. Punti regolari. Identificazione del piano tangente e dei versori normali a una superficie in un punto regolare. Superfici regolari e regolari a tratti. Elemento d’area. Area di una superficie. Integrale di funzione su una superficie. Superfici composte. Superfici di rotazione. Area di superfici di rotazione.  Integrali di funzioni su superfici di rotazione. Superfici orientabili. Orientazione del bordo di una superficie orientabile.

I TEOREMI DELLA DIVERGENZA E DEL ROTORE

Orientazione positiva della frontiera di domini semplici. Formule di Green su domini semplici rispetto a entrambi gli assi di R^2.  Domini regolari a tratti. Orientazione positiva della frontiera di domini regolari a tratti.  Formule di Green su domini di R^2 regolari a tratti.  Area di un dominio regolare a tratti. Versore normale esterno alla frontiera di un dominio regolare a tratti. Seconda relazione tra integrali curvilinei di I specie e integrali curvilinei di II specie. Flusso di un campo vettoriale piano uscente da un sottoinsieme di R^2. Divergenza di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in R^2. La divergenza come densita' di flusso uscente per unità di area. Formula di integrazione per parti in R^2. Operatore di Laplace. Teorema del rotore in R^2.  Il rotore (scalar una direzione) come densità di circuitazione (intorno a un asse) per unità di area.
Flusso di campo vettoriale attraverso una superficie orientabile. Dominio regolare di R^3. Teorema della divergenza in R^3. La divergenza come densità di flusso uscente per unità di volume.  Formule di integrazione per parti in R^3. Equazione di continuità (bilancio di massa per fluidi comprimibili).  Circuitazione di un campo vettoriale lungo una curva chiusa. Teorema del rotore in R^3. Il rotore (scalar una direzione) come densità di circuitazione (intorno a un asse) per unità di area.


EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

EDO: introduzione, primi esempi, problemi tipici. Classificazione delle EDO: forma implicita ed esplicita, ordine, linearità. Definizione di soluzione ed integrale generale di una EDO. EDO lineari del prim’ordine omogenee: metodo di separazione delle variabili.
EDO lineari del prim’ordine omogenee: integrale generale. Esempi. Problema di Cauchy. EDO lineari del second’ordine omogenee: combinazioni lineari di soluzioni sono soluzioni. Soluzioni linearmente indipendenti. EDO lineari del second’ordine omogenee a coefficienti costanti: integrale generale. Problema di Cauchy. EDO lineari del second’ordine omogenee a coefficienti costanti: problema al contorno. EDO lineari di ordine superiore al secondo, omogenee a coefficienti costanti. EDO lineari non omogenee: integrale generale. EDO lineari non omogenee: metodo di variazione delle costanti, metodo di somiglianza. EDO del prim’ordine a variabili separabili. Problema di Cauchy, esempi e metodo di risoluzione generale. Teorema di esistenza, unicità ed intervallo massimale per il problema di Cauchy. EDO del prim’ordine a variabili separabili: controesempi all’unicità per il problema di Cauchy. Metodi risolutivi: riduzione d’ordine, metodo di D’Alembert. Cambiamenti di variabile: EDO lineari del second’ordine in forma di Eulero, EDO del second’ordine autonome in forma esplicita, altri cambiamenti di variabile.

SERIE DI FOURIER

Polinomi trigonometrici. Polinomio di minima distanza quadratica media da una funzione continua.  Serie di Fourier. Convergenza della serie di Fourier. Determinazione dei coefficienti di Fourier. Relazione tra coefficienti di Fourier e simmetrie. Serie di Fourier di funzioni 2L-periodiche. Determinazione della somma di una serie attraverso la serie di Fourier. Applicazione delle serie di Fourier: esistenza della soluzione del problema della corda vibrante.