FACOLTA’ DI INGEGNERIA

Corso di Laurea EDILE - ARCHITETTURA

PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I[1]    

A.A. 2015-2016

Elementi di teoria degli insiemi

Richiami di matematica elementare. Simboli di logica matematica. Primi elementi di teoria degli insiemi. Prodotto cartesiano; applicazioni.

Insiemi di numeri reali

Generalità ed esempi. Estremo inferiore e  superiore di un insieme (senza dimostrazioni). Punti di accumulazione; insiemi chiusi (senza dim. teor. 2.3.II). Il numero e; logaritmi naturali.

Nozioni di calcolo combinatorio

Disposizioni, combinazioni, permutazioni. Coefficienti binomiali e loro proprietà (senza dim.). Potenza di un binomio (senza dim.).

Funzioni di una variabile

Il concetto di funzione. Rappresentazione geometrica: grafico. Le funzioni elementari. Alcune nozioni generali sulle funzioni; estremo inferiore e superiore di una funzione. Funzioni composte e inverse. Le funzioni circolari inverse. Le successioni.

Successioni

Successioni convergenti, divergenti; definizione di limite (senza dim. teor. 5.1.III). Primi teoremi sui limiti; sottosuccesioni, disuguaglianze (senza dim.). Limiti di successioni monotone; il numero e (senza dim.). Operazioni sui limiti: forme indeterminate (senza dim.). Alcuni limiti fondamentali (senza dim.). Confronto tra infinitesimi o tra  infiniti (senza dim.). Criterio di convergenza di Cauchy (senza dim.). 

Serie numeriche

Serie convergenti, divergenti, indeterminate (senza Esempio 4). Il criterio generale di convergenza  (senza dim. teor. 6.2.III ,IV). Proprietà ed operazioni (senza dim.). Serie a termini di segno costante (senza dim. teor. 6.4.II, ., senza definizione di regolarità incondizionata). Serie assolutamente convergenti (senza dim. teor.6.5.II, senza prodotto di due serie). Criteri di convergenza assoluta (senza dim., senza teor.6.6.III, III”, IV, V, V’). Criterio di convergenza non assoluta (senza dim., senza teor. 6.7.I, II).

 

Limiti di funzioni di una variabile

Limiti all’infinito. Limiti in un punto. Osservazioni sui limiti di funzioni (senza teor. 7.3.I, senza dim. teor. 7.3.II). Teoremi sui limiti delle funzioni. Calcolo di due limiti fondamentali. Confronto tra infinitesimi o tra  infiniti (senza dim.).

Funzioni continue di una variabile

Definizioni e prime proprietà. Esempi di funzioni continue (senza dim.). Punti singolari di una funzione; continuità a sinistra e a destra.. Operazioni sulle funzioni continue (senza dim.). Teoremi fondamentali sulle funzioni continue (senza dim., senza definizione di funzione uniformemente continua e relativi teoremi ). Funzioni inverse (senza dim.).

Nozioni di calcolo differenziale per le funzioni di una variabile

Definizione di derivata. Applicazioni del concetto di derivata. Funzioni differenziabili; proprietà del differenziale.  Regole di derivazione (senza dim.). Derivazione della funzione inversa  (senza dim. teor. 9.5.I). Derivazione di una funzione composta (senza dim.). Funzioni iperboliche e loro derivate. Tabella delle derivate fondamentali.  Derivate  successivi (senza formula di Leibnitz).  Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi. Teoremi di Rolle, Chauchy, Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange; crescenza in grande (senza dim. teor. 9.13.III, senza Osservazione I). Forme indeterminate: teorema di de L’Hôpital (senza dim. teor. 9.14.I, senza teor. 9.14.II). Asintoti. Ricerca del minimo e del massimo assoluti di una funzione. Funzioni concave o convesse in un punto; flessi (senza Esempi 1,2, senza teor. 9.17.I, II, senza  dim. teor. 9.17.III, IV). Concavità e convessità  in grande (senza dim. teor. 9.18.I, III, IV, senza  teor. 9.18.II). Studio del grafico di una funzione.

Nozioni di calcolo integrale per le funzioni di una variabile

Funzioni primitive. Integrale di una funzione continua estesa a un intervallo (senza dim.). Significato geometrico dell’integrale. Proprietà dell’integrale (senza dim.) Integrali definiti(senza dim.). Esistenza delle primitive di una funzione: Teorema di Torricelli-Barrow. Integrali indefiniti. Integrazione per parti,  integrazione per sostituzione(senza dim.). Integrazione definita per parti e per sostituzione (senza dim.). Alcune applicazioni; aree e funzioni integrali (senza Esempi 4,5,6,).

 

Applicazioni di calcolo differenziale e integrale

Formula di Taylor: proprietà locali (senza dim.). Curve regolari, retta tangente. Lunghezza di un arco di curva (dim. parziale fino alla formula (11.8.8)). Ascissa curvilinea.

 

Numeri complessi

Introduzione. Definizioni. Conseguenze delle definizioni precedenti. (senza dim. teor. 12.3.I). Operazioni  inverse; numeri coniugati. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi (senza dim. teor. 12.5.II).. Radici dei numeri complessi. Esponenziale: formula di Eulero (senza dim.). Logaritmo di un numero complesso.

Testo consigliato:
A.Ghizzetti-F.Rosati Analisi Matematica vol. 1, Zanichelli, seconda edizione.

 


[1] In sede di esame, per ognuno degli argomenti del programma potrà essere proposto un problema applicativo del tipo di quelli  mostrati durante il corso.