PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA III
C.L.
Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio (sede distaccata di
Latina)
Successioni di
funzioni.
Definizione di convergenza puntuale e uniforme: proprietà e relazioni fra le due
nozioni. La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale,
teorema di passaggio al limite della continuità, teorema di
passaggio al limite sotto integrale, teorema di passaggio al limite sotto
derivata.
Serie di
funzioni.
Definizione di convergenza puntuale, uniforme e totale: proprietà e relazioni
fra le varie nozioni. La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale,
teorema di passaggio al limite della continuità, teorema di passaggio al limite
sotto integrale, teorema di passaggio al limite sotto derivata.
Serie di potenze. Definizione di raggio di
convergenza e teoremi di convergenza. Teorema sulla continuità,
derivabilità e integrabilità delle serie di potenze. Ulteriori teoremi di
convergenza. Cenno alle serie di Taylor, alle funzioni analitiche ed ai criteri
di sviluppabilità in serie di potenze.
Spazi di Banach e spazi di
Hilbert. Spazi
di Banach: definizione di norma, di successione di Cauchy e di spazio normato
completo. Teorema delle contrazioni. Norme equivalenti. Insiemi aperti e
chiusi in spazi normati. Definizione di metrica indotta da una norma. Spazi di
Hilbert: definizione di prodotto scalare e di spazio di Hilbert. Identità del
parallelogramma. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Nozione di
ortogonalità e di sistema ortonormale completo. Teorema di Pitagora.
Complemento ortogonale e proiezione ortogonale. Disuguaglianza di Bessel.
Misura
e integrazione secondo Lebesgue.
Intervalli,
plurintervalli e loro misura. Misura esterna e sue proprietà. Insiemi misurabili
e nozione di misura.
Misurabilità degli insiemi di misura nulla e degli insiemi numerabili.
Funzioni misurabili, funzioni semplici e funzioni sommabili.Teoremi di passaggio
al limite sotto il segno di integrale: Teorema di Beppo-Levi (convergenza
monotona) e Teorema della convergenza dominata. Teorema di Fubini, Teorema di
Tonelli e Teorema di cambiamento di variabile. Spazi Lp :
definizione, completezza, dualità, riflessività.
Analisi
Complessa.
Richiami sui numeri complessi. Funzioni olomorfe: definizioni e proprietà.
Differenziabilità. Teorema di equivalenza delle funzioni olomorfe.
Condizioni di Cauchy-Riemann. Esempi di funzioni olomorfe: polinomi, funzioni
razionali, esponenziale, seno e coseno, seno e coseno iperbolico, logaritmo,
potenza. Serie di potenze e serie di Taylor nel campo complesso. Funzioni
analitiche. Proprietà delle funzioni analitiche. Integrazione complessa.
Caratterizzazione integrale delle funzioni olomorfe: equivalenza tra olomorfia e
integrale nullo. Nozione di primitiva. Teorema Fondamentale del calcolo
Integrale. Formula integrale di Cauchy e sue conseguenze. Caratterizzazione e
studio delle singolarità. Definizione di residuo e formule per il calcolo dei
residui. Teorema dei residui e applicazioni al calcolo di integrali reali.
Serie di Laurent. Teorema Fondamentale
dell’Algebra.
Serie di Fourier. Coefficienti di Fourier e
serie di Fourier. Convergenza puntuale, uniforme,totale e in media
quadratica. Coefficienti di Fourier e serie di Fourier in un generico spazio di
Hilbert. Disuguaglianza di Bessel e Identità di Parseval. Serie trigonometriche
in L2. Fenomeno di Gibbs.
Trasformata
di Fourier e Trasformata di
Laplace. Proprietà delle trasformate.
Antitrasformata.
Equazioni
differenziali.
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie: teoremi di esistenza e unicità
in piccolo e in grande. Equazioni di Bernoulli e di Eulero. Il fenomeno della
risonanza: applicazione ai circuiti RCL. Sistemi di Equazioni Lineari.
Stabilità. Teorema di continuità rispetto ai dati iniziali. Metodo di
risoluzione per serie. Equazioni alle derivate parziali: equazione del primo e del secondo
ordine, lineari, semilineari e totalmente non lineari). Classificazione delle
PDE del secondo ordine semilineari: ellittiche, paraboliche, iperboliche.
Equazione del potenziale elettrostatico, del calore e delle
onde.
N.B.: le
parti sottolineate sono richieste con dimostrazione.
N.B.: le
parti in corsivo non fanno parte del programma, ma sono oggetto di possibili
tesine.
Testi
consigliati:
G.C. Barozzi: Matematica per l’Ingegneria
dell’Informazione. Zanichelli ed., 2001
D.
Andreucci – A.M. Bersani: Risoluzione di
problemi d’esame di Analisi Matematica II. Progetto Leonardo,
Bologna.
Fotocopie fornite durante le
lezioni.