PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA III

Prof.ssa Micol AMAR - a.a. 2004/2005

C.L. Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio (sede distaccata di Latina)

 

 

Successioni di funzioni. Definizione di convergenza puntuale e uniforme: proprietà e relazioni fra le due nozioni. La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale, teorema di passaggio al limite della continuità, teorema di passaggio al limite sotto integrale, teorema di passaggio al limite sotto derivata.

 

Serie di funzioni. Definizione di convergenza puntuale, uniforme e totale: proprietà e relazioni fra le varie nozioni. La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale, teorema di passaggio al limite della continuità, teorema di passaggio al limite sotto integrale, teorema di passaggio al limite sotto derivata.

 

Serie di potenze. Definizione di raggio di convergenza e teoremi di convergenza. Teorema sulla continuità, derivabilità e integrabilità delle serie di potenze. Ulteriori teoremi di convergenza. Cenno alle serie di Taylor, alle funzioni analitiche ed ai criteri di sviluppabilità in serie di potenze.

 

Spazi di Banach e spazi di Hilbert. Spazi di Banach: definizione di norma, di successione di Cauchy e di spazio normato completo. Teorema delle contrazioni. Norme equivalenti. Insiemi aperti e chiusi in spazi normati. Definizione di metrica indotta da una norma. Spazi di Hilbert: definizione di prodotto scalare e di spazio di Hilbert. Identità del parallelogramma. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Nozione di ortogonalità e di sistema ortonormale completo. Teorema di Pitagora. Complemento ortogonale e proiezione ortogonale. Disuguaglianza di Bessel. 

 

Misura e integrazione secondo Lebesgue. Intervalli, plurintervalli e loro misura. Misura esterna e sue proprietà. Insiemi misurabili e nozione di  misura. Misurabilità degli insiemi di misura nulla e degli insiemi numerabili. Funzioni misurabili, funzioni semplici e funzioni sommabili.Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale: Teorema di Beppo-Levi (convergenza monotona) e Teorema della convergenza dominata. Teorema di Fubini, Teorema di Tonelli e Teorema di cambiamento di variabile. Spazi Lp : definizione, completezza, dualità, riflessività.

 

Analisi Complessa. Richiami sui numeri complessi. Funzioni olomorfe: definizioni e proprietà. Differenziabilità. Teorema di equivalenza delle funzioni olomorfe. Condizioni di Cauchy-Riemann. Esempi di funzioni olomorfe: polinomi, funzioni razionali, esponenziale, seno e coseno, seno e coseno iperbolico, logaritmo, potenza. Serie di potenze e serie di Taylor nel campo complesso. Funzioni analitiche. Proprietà delle funzioni analitiche. Integrazione complessa. Caratterizzazione integrale delle funzioni olomorfe: equivalenza tra olomorfia e integrale nullo. Nozione di primitiva. Teorema Fondamentale del calcolo Integrale. Formula integrale di Cauchy e sue conseguenze. Caratterizzazione e studio delle singolarità. Definizione di residuo e formule per il calcolo dei residui. Teorema dei residui e applicazioni al calcolo di integrali reali. Serie di Laurent. Teorema Fondamentale dell’Algebra.

 

Serie di Fourier. Coefficienti di Fourier e serie di Fourier. Convergenza puntuale, uniforme,totale e in media quadratica. Coefficienti di Fourier e serie di Fourier in un generico spazio di Hilbert. Disuguaglianza di Bessel e Identità di Parseval. Serie trigonometriche in L2. Fenomeno di Gibbs.

 

Trasformata di Fourier e Trasformata di Laplace. Proprietà delle trasformate. Antitrasformata.

 

Equazioni differenziali. Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie: teoremi di esistenza e unicità in piccolo e in grande. Equazioni di Bernoulli e di Eulero. Il fenomeno della risonanza: applicazione ai circuiti RCL. Sistemi di Equazioni Lineari. Stabilità. Teorema di continuità rispetto ai dati iniziali. Metodo di risoluzione per serie. Equazioni alle derivate parziali:  equazione del primo e del secondo ordine, lineari, semilineari e totalmente non lineari). Classificazione delle PDE del secondo ordine semilineari: ellittiche, paraboliche, iperboliche. Equazione del potenziale elettrostatico, del calore e delle onde.

 

N.B.: le parti sottolineate sono richieste con dimostrazione.

N.B.: le parti in corsivo non fanno parte del programma, ma sono oggetto di possibili tesine.

 

Testi consigliati:  

G.C. Barozzi: Matematica per l’Ingegneria dell’Informazione. Zanichelli ed., 2001

D. Andreucci – A.M. Bersani: Risoluzione di problemi d’esame di Analisi Matematica II. Progetto Leonardo, Bologna.

Fotocopie fornite durante le lezioni.