ha somma T se 
per ogni 
in D.
La derivazione è un operatore lineare e continuo in D' pertanto
.
La somma della serie delle derivate 
è la derivata della somma della serie delle 
.
Sviluppo di Fourier della seguente funzione (dispari) periodica di periodo 2
,
definita ponendo:
nel senso delle distribuzioni,
con
pendenza (derivata
ordinaria)
altezza del salto
delle discontinuità
impulso (derivata
nel senso delle distribuzioni nei punti di salto).
Scriviamo la serie di Fourier:
dove:
Essendo f dispari è 
, se
si ha:
quindi:
pertanto uguagliando la serie derivata alla derivata della somma:
Vedremo le conseguenze di queste identità (nel senso delle distribuzioni) quando si effettua la trasformata di Fourier del treno di impulsi.