Non tutte le distribuzioni di D'(R)
sono definite nello spazio di funzioni test S(R).
Ad esempio 
non appartiene
a S'(R)
pur essendo una distribuzione (funzione localmente sommabile).
Infatti presa 
in S
si ha :
e l'integrale a secondo membro ovviamente non è finito.
Le distribuzioni che sono definite su S (R) prendono il nome di distribuzioni temperate ovvero a crescenza lenta. Indicheremo con S'(R) l'insieme delle distribuzioni temperate.
Per definire in S' la
trasformata di Fourier consideriamo preliminarmente il caso di
due funzioni 
Si ha:
,
essendo lecito scambiare gli integrali si ha
,
cioè:
.
Useremo questa formula per definire la 
di distribuzioni temperate avendo dimostrato che:
,
cioè 
sono entrambe funzioni test a decrescenza rapida.
19.2 Definizione. Per 
diremo che la trasformata di Fourier della distribuzione temperata
T è definita da:
