Corso di Dottorato
Tecniche di Omogeneizzazione ed
Applicazioni ai Tessuti Biologici
a.a. 2009/2010
Programma del corso
Analisi Funzionale
• Spazi BV ed SBV
• Variazione totale
• Convergenze
• Decomposizione canonica della derivata
• Teorema di Radon-Nykodim
• Teorema di Rellich
• Disuguaglianza di Poincaré
Bibliografia:
Ambrosio, Fusco, Pallara - Functions of bounded variation and free discontinuity
problems - Oxford University Press, New York, (2000).
L. C. Evans and R. F. Gariepy - Lecture Notes on Measure Theory and Fine
Properties of Functions - CRC Press, Boca Raton (1992).
E. Giusti - Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation - Birkhäuser,
Boston (1984).
W. Rudin - Real and Complex Analysis - Mc Graw--Hill, New York, (1966).
Analisi Convessa
• Definizione di convessità, s.c.i. e relazioni
• Derivata di Gateaux e di Frechet
• Equazioni di Eulero
Bibliografia:
B. Dacorogna - Direct methods in the calculus of variations - Springer,
Berlin, (1982).
Ekeland, R. Temam - Analyse convexe et problémes variationnels -
Dunod, Paris, (1974) (Traduzione inglese: North-Holland (1976)).
R.T. Rockafellar - Convex Analysis - Princeton University Press, (1970).
Metodi Diretti
• Teorema di Weierstrass
• Successioni minimizzanti e coercività
• Teorema di esistenza del minimo
• Applicazioni negli spazi di Sobolev
Bibliografia:
B. Dacorogna - Direct methods in the calculus of variations - Springer,
Berlin, (1982).
G. Dal Maso - An introduction to Γ-convergence - Birkhäuser, Boston,
(1993).
Omogeneizzazione
• Studio del caso modello (problemi di buona posizione)
• Sviluppi asintotici formali
• Stima dell’energia
• Metodo di Tartar
• Principio del massimo
• Stima dell’errore
Bibliografia:
A. Bensoussan, J.L. Lions, G. Papanicolaou - Asymptotic Analysis for Periodic
Structures - North Holland, Amsterdam (1978).
N. Bakhvalov, G. Panasenko - Homogenization: Averaging Processes in Periodic
Media. Mathematical Problems in the Mechanics of Composite Materials - Kluwer
Academic Publishers, Dordrecht (1989).
E. Sánchez-Palencia - Non Homogeneous Media and Vibration Theory
– vol. 127 of “Lecture notes in physics”,
Springer Verlag (1980).
Applicazioni ai tessuti biologici
• Motivazione del problema
• Introduzione del modello nella singola cellula
• Concentrazione formale
• Stima dell’energia
• Disuguaglianza di Poincaré
• Discussione sulle possibili scalature
• Buona posizione del problema microscopico
• Omogeneizzazione formale
• Dimostrazione rigorosa del modello macroscopico
• Buona posizione del problema macroscopico
Bibliografia:
M. Amar, D. Andreucci, P. Bisegna, R. Gianni - Homogenization limit
for electrical conduction in biological tissues in the radio-frequency range.
Comptes Rendus Mecanique, 331, 503-508 (2003). Elsevier.
M. Amar, D. Andreucci, P. Bisegna, R. Gianni - Evolution and memory effects
in the homogenization limit for electrical conduction in biological tissues
- Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 14, 1261-1295
(2004). World Scientic.
M.Amar, D. Andreucci, P. Bisegna, R. Gianni - An elliptic equation with
history - C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 338, 595-598 (2004).
M. Amar, D. Andreucci, P. Bisegna, R. Gianni - Existence and uniqueness
for an elliptic problem with evolution arising in electrodynamics. Nonlinear
Analysis Real World Applications, 6, 367-380 (2005). Elsevier.
M.Amar, D. Andreucci, P. Bisegna, R. Gianni - On a hierarchy of models for
electrical conduction in biological
Tissues - Math. Methods Appl. Sci., 29, 767-787 (2006).
M.Amar, D.Andreucci, P.Bisegna, R.Gianni - Stability and memory effects
in a homogenized model governing the electrical conduction in biological
tissues - Journal of Mechanics of Materials and Structures, 4 (2), 211—223
(2009).
M. Amar, D. Andreucci, P. Bisegna, R. Gianni - Exponential asymptotic stability
for an elliptic equation with memory arising in electrical conduction - Euro.
Jnl. of Applied Mathematics, 20, 431-459 (2009).
M. Amar, D. Andreucci, P. Bisegna, R. Gianni - Homogenization limit and
asymptotic decay for electrical conduction in biological tissues in the high
radiofrequency range - To appear on Discrete and Continuous Dynamical Systems
(2010).
F. Lene, D. Leguillon - Étude de l'influence d'un glissement entre
les constituants d'un matériau composite sur ses coefficients de comportement
effectifs. Journal de Mécanique, 20, 509-536, 1981.
R. Lipton - Heat conduction in fine scale mixtures with interfacial contact
resistance - SIAM Journal of Applied Mathematics, 58, 55-72, 1998.
M. Pennacchio, P. Colli Franzone, G. Savaré - Multiscale modelling
for the bioelectric activity of the heart - Siam J. Math. Anal., 37 (4), 1333-1370
(2005).