Testo
G. Accascina e V. Monti, Geometria Il testo contiene sia la
teoria che gli esercizi.
La versione attualmente
disponibile è la 1.00 del 21 settembre 2015.
Geometria by Giuseppe Accascina e Valerio Monti is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.
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Programma del corso
La numerazione degli argomenti corrisponde ai capitoli del testo. Tutti i capitoli del testo fanno parte del programma salvo diversa indicazione esplicita. L'appendice "Approfondimenti" contiene dimostrazioni che sono state omesse nel testo. Non fanno parte del programma d'esame salvo diversa indicazione esplicita. Le appendici con i richiami di geometria del piano e dello spazio contengono argomenti che dovrebbero essere già noti dalle scuole superiori, e quindi, pur non essendo richiamati espicitamente nel testo e nelle lezioni, sono usati molto spesso nel testo, nel corso delle lezioni e quindi anche nei testi d'esame.
- Equazioni lineari e numeriSistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi.
- Matrici e insiemiMatrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
- Lo spazio vettoriale delle matriciAddizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
- Moltiplicazioni tra matriciMoltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
- DeterminantiDefinizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
- Matrice inversaMatrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
- Rango di una matriceDefinizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
- Sistemi di equazioni lineariDefinizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
- Metodo di Gauss
- Applicazioni del metodo di GaussOperazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
- I vettori geometriciVettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio.
- Combinazioni lineari di vettori geometriciCombinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O).
- Spazi vettoriali sui realiDefinizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
- Sottospazi vettorialiDefinizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O).
- Generatori di spazi vettorialiCombinazioni lineari e generatori.
- Dipendenza e indipendenza lineare
- Basi di spazi vettorialiBasi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
- Intersezione e somma di sottospaziIntersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Somma diretta di sottospazi.
- Sottospazi affiniLe rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
- Equazioni vettoriali di rette e pianiEquazioni vettoriali di rette. Semirette e segmenti. Equazioni vettoriali di piani. Condizioni di allineamento e complanarità.
- Riferimenti affiniSistemi di riferimento affine nel piano. Sistemi di riferimento affine nello spazio. Punto medio. Condizioni di allineamento e complanarità.
- Equazioni parametricheEquazioni parametriche di rette nel piano. Posizioni reciproche di rette nel piano. Equazioni parametriche di rette nello spazio. Equazioni parametriche di piani nello spazio. Semirette, semipiani e segmenti.
- Equazioni cartesiane nel pianoEquazioni cartesiane di rette. Equazione cartesiana ed equazioni parametriche. Retta passante per due punti. Intersezione di rette. Fasci di rette. Semipiani.
- Equazioni cartesiane nello spazioEquazioni cartesiane di piani. Equazioni cartesiane e parametriche di piani. Piano passante per tre punti. Intersezione di piani. Equazioni cartesiane di rette. Fasci e stelle di piani. Semispazi.
- Funzioni tra insiemiFunzioni. Immagini e controimmagini. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione inversa. Composizione di funzioni.
- OmomorfismiOmomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
- ImmagineProprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
- NucleoProprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo. Controimmagini.
- Isomorfismi
- EndomorfismiMatrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
- Autovalori e autovettoriDefinizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
- DiagonalizzazioneCondizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.
- Prodotto scalare di vettori geometriciNorma di un vettore geometrico. Prodotto scalare di vettori geometrici. Basi ortogonali e ortonormali nel piano. Basi ortogonali e ortonormali nello spazio. Calcolo di angoli.
- Riferimenti cartesianiRiferimenti cartesiani nel piano. Riferimenti cartesiani nello spazio. Distanza tra punti.
- Geometria analitica metrica del pianoOrtogonalità tra rette. Angoli tra rette. Distanza tra un punto e una retta. Distanza tra due rette. Circonferenze.
- Geometria analitica metrica dello spazioOrtogonalità fra rette. Angoli tra rette. Parallelismo e ortogonalità tra rette e piani. Distanze tra punti, rette e piani. Sfere e circonferenze.
- Endomorfismi di V3(O): due esempi
- Prodotto scalare in RnProdotto scalare. Basi ortonormali. Matrici ortogonali.
- Diagonalizzazione di matrici simmetricheMatrici ed endomorfismi simmetrici. Procedimento di diagonalizzazione.
- Geometria in RnSottospazi affini. Parallelismo di sottospazi affini. Inviluppi affini. Iperpiani. Ortogonalità. Insiemi convessi e semispazi.