Testo

G. Accascina e V. Monti, Geometria Il testo contiene sia la teoria che gli esercizi.
La versione attualmente disponibile è la 1.00 del 21 settembre 2015.
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Geometria by Giuseppe Accascina e Valerio Monti is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.

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Programma del corso

La numerazione degli argomenti corrisponde ai capitoli del testo. Tutti i capitoli del testo fanno parte del programma salvo diversa indicazione esplicita. L'appendice "Approfondimenti" contiene dimostrazioni che sono state omesse nel testo. Non fanno parte del programma d'esame salvo diversa indicazione esplicita. Le appendici con i richiami di geometria del piano e dello spazio contengono argomenti che dovrebbero essere già noti dalle scuole superiori, e quindi, pur non essendo richiamati espicitamente nel testo e nelle lezioni, sono usati molto spesso nel testo, nel corso delle lezioni e quindi anche nei testi d'esame.

  1. Equazioni lineari e numeri
    Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi.
  2. Matrici e insiemi
    Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
  3. Lo spazio vettoriale delle matrici
    Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
  4. Moltiplicazioni tra matrici
    Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
  5. Determinanti
    Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
  6. Matrice inversa
    Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
  7. Rango di una matrice
    Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
  8. Sistemi di equazioni lineari
    Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
  9. Metodo di Gauss
  10. Applicazioni del metodo di Gauss
    Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
  11. I vettori geometrici
    Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio.
  12. Combinazioni lineari di vettori geometrici
    Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O).
  13. Spazi vettoriali sui reali
    Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
  14. Sottospazi vettoriali
    Definizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O).
  15. Generatori di spazi vettoriali
    Combinazioni lineari e generatori.
  16. Dipendenza e indipendenza lineare
  17. Basi di spazi vettoriali
    Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
  18. Intersezione e somma di sottospazi
    Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Somma diretta di sottospazi.
  19. Sottospazi affini
    Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
  20. Equazioni vettoriali di rette e piani
    Equazioni vettoriali di rette. Semirette e segmenti. Equazioni vettoriali di piani. Condizioni di allineamento e complanarità.
  21. Riferimenti affini
    Sistemi di riferimento affine nel piano. Sistemi di riferimento affine nello spazio. Punto medio. Condizioni di allineamento e complanarità.
  22. Equazioni parametriche
    Equazioni parametriche di rette nel piano. Posizioni reciproche di rette nel piano. Equazioni parametriche di rette nello spazio. Equazioni parametriche di piani nello spazio. Semirette, semipiani e segmenti.
  23. Equazioni cartesiane nel piano
    Equazioni cartesiane di rette. Equazione cartesiana ed equazioni parametriche. Retta passante per due punti. Intersezione di rette. Fasci di rette. Semipiani.
  24. Equazioni cartesiane nello spazio
    Equazioni cartesiane di piani. Equazioni cartesiane e parametriche di piani. Piano passante per tre punti. Intersezione di piani. Equazioni cartesiane di rette. Fasci e stelle di piani. Semispazi.
  25. Funzioni tra insiemi
    Funzioni. Immagini e controimmagini. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione inversa. Composizione di funzioni.
  26. Omomorfismi
    Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
  27. Immagine
    Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
  28. Nucleo
    Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo. Controimmagini.
  29. Isomorfismi
  30. Endomorfismi
    Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
  31. Autovalori e autovettori
    Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
  32. Diagonalizzazione
    Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.
  33. Prodotto scalare di vettori geometrici
    Norma di un vettore geometrico. Prodotto scalare di vettori geometrici. Basi ortogonali e ortonormali nel piano. Basi ortogonali e ortonormali nello spazio. Calcolo di angoli.
  34. Riferimenti cartesiani
    Riferimenti cartesiani nel piano. Riferimenti cartesiani nello spazio. Distanza tra punti.
  35. Geometria analitica metrica del piano
    Ortogonalità tra rette. Angoli tra rette. Distanza tra un punto e una retta. Distanza tra due rette. Circonferenze.
  36. Geometria analitica metrica dello spazio
    Ortogonalità fra rette. Angoli tra rette. Parallelismo e ortogonalità tra rette e piani. Distanze tra punti, rette e piani. Sfere e circonferenze.
  37. Endomorfismi di V3(O): due esempi
  38. Prodotto scalare in Rn
    Prodotto scalare. Basi ortonormali. Matrici ortogonali.
  39. Diagonalizzazione di matrici simmetriche
    Matrici ed endomorfismi simmetrici. Procedimento di diagonalizzazione.
  40. Geometria in Rn
    Sottospazi affini. Parallelismo di sottospazi affini. Inviluppi affini. Iperpiani. Ortogonalità. Insiemi convessi e semispazi.