Diario delle lezioni (AA 15-16)
(“Si quid forte minus aut plus iusto vel necessario
intermisi, mihi deprecor indulgeatur, cum nemo sit qui vitio careat et in
omnibus undique sit circumspectus”, Leonardo
Pisano, Liber Abaci)
"Thanne longen folk to goon on pilgrimages,
And palmeres for to seken straunge strondes,..."
G. Chaucer, The
In questo spazio saranno annotati, più o meno quotidianamente e per sommi capi, gli argomenti svolti a lezione. Tra parentesi quadre i riferimenti alla bibliografia. I principali testi di riferimento sono i primi due. Gli altri della lista sono comunque dei testi consigliati. Gli studenti sono invitati a risolvere gli esercizi proposti e, volendo, sottoporre a me, via posta elettronica, delle soluzioni da condividere, su questa pagina, con gli altri studenti del corso. Le soluzioni possono anche essere scritte a mano, ma in ogni caso devono essere scritte in maniera ordinata e leggibile. Vi ringrazio inoltre se vorrete segnalare eventuali imprecisioni o errori sia su queste pagine che sul libro di testo.
21 settembre 2015 Lezione 1
Introduzione al corso. Cenni
storici sull'algebra lineare e sulla geometria.
Problema delle parallele.
Girolamo Saccheri (1667-1733), J. Bolyai (1802-1860), N. Lobachevsky
(1792-1856). Eugenio Beltrami (1835-1899). Geometrie non euclidee.
Esercizio: studiare la
dimostrazione della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
(Conoscere le definizioni, il procedimento di risoluzione e la dimostrazione
della formula e qualche esempio). Vedere il seguente link per un esempio di applicazione di
matrici alla compressione di immagini.
22 settembre 2015 Lezione 2
Insiemi. Operazioni su insiemi.
Prodotto cartesiano di due o più insiemi. Relazioni. Relazioni di equivalenza.
Classi di equivalenza. Insieme quoziente. [Cap. 1]
23 settembre 2015 Lezione 3
Relazione di congruenza sugli
interi. Classi resto modulo n. Funzioni. Funzioni iniettive e suriettive. [Cap.
1]
24 settembre 2015 Lezione 4
Funzioni biunivoche.
Composizione di funzioni. Funzione identità. Funzione inversa. Permutazioni.
Scambi. Permutazioni pari e dispari. Principio di induzione. [Cap. 1]
25 settembre 2015 Lezione 5
Un insieme con n elementi
possiede 2n elementi. I numeri reali: un campo ordinato e completo.
Disuguaglianza triangolare. Disuguaglianza di Bernoulli. [Cap. 1]
28 settembre 2015 Lezione 6
Introduzione ai numeri
complessi. Enunciato del Teorema Fondamentale dell’Algebra. Operazioni sui
numeri complessi. Proprietà. Modulo. Coniugato. [Cap. 1]
29 settembre 2015 Lezione 7
Forma trigonometrica e
esponenziale dei numeri complessi. Calcolo di potenze e radici di un numero
complesso. Formula di De Moivre.
Definizione dello spazio
vettoriale Rn.
Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti o indipendenti.
[Cap. 1, Cap.2]
30 settembre 2015 Lezione 8
Condizione necessaria e
sufficiente per la dipendenza lineare. Sottospazio generato da vettori. Vettori
generatori. Base di un sottospazio. Dimensione di un sottospazio. Definizione
di prodotto scalare in Rn.
Qualche proprietà. [Cap. 2]
1 ottobre 2015 Lezione 9
Definizione di sottospazio
vettoriale. Base canonica di Rn.
Introduzione alle matrici.
Ordine di una matrice. Struttura di spazio vettoriale delle matrici di un
ordine fissato. Trasposta di una matrice. Definizione di matrice simmetrica e
antisimmetrica. [Cap. 2, Cap. 3]
2 ottobre 2015 Lezione 10
Sottospazio delle matrici
simmetriche e sua dimensione.
Introduzione alla teoria
generale dei sistemi di equazioni lineari. Prime definizioni: matrice di un
sistema, matrice completa, soluzione di un sistema, sistemi equivalenti.
Operazioni elementari sulle
righe. Matrici equivalenti per righe.
Matrici triangolari superiori
e inferiori. [Cap. 3]
5 ottobre 2015 Lezione 11
Forma a gradini di una
matrice. Forma a gradini ridotta. Pivot. Rango di una matrice come numero di
pivot. Riduzione a gradini di una matrice. Esempi di risoluzione di sistemi di
equazioni lineari. [Cap.3]
6 ottobre 2015 Lezione 12
Algoritmo di Gauss e di
Gauss-Jordan. Sistemi lineari omogenei. Autosoluzioni. Struttura di sottospazio
dell’insieme delle soluzioni. Metodo per determinare una base. Torema di
Rouché-Capelli. Prodotto righe per colonne. [Cap. 3]
7 ottobre 2015 Lezione 13
Proprietà del prodotto tra
matrici. Matrice identità. Matrice invertibile. Algoritmo di inversione di una
matrice. Proprietà delle matrici invertibili. Teorema sulle condizioni
equivalenti di invertibilità. [Cap. 3]
8 ottobre 2015 Lezione 14
Dimostrazione del teorema
sulle condizioni equivalenti di invertibilità. Matrici elementari. Una matrice
è invertibile se e solo se è il prodotto di matrici elementari.
Cenno alla fattorizzazione
LU. [Cap. 3]
9 ottobre 2015 Lezione 15
Definizione del determinante
come somma di tutti i prodotti competenti. Regola di Sarrus per il determinante
di ordine 3. Primo teorema di Laplace e conseguenze. Determinante e operazioni
elementari. [Cap. 3]
12 ottobre 2015 Lezione 16
Proprietà del determinante.
Determinante e invertibilità di una matrice. Teorema di Binet. Condizioni
equivalenti per l’invertibilità di una matrice. [Cap. 3]
13 ottobre 2015 Lezione 17
Ancora condizioni equivalenti
per l’invertibilità di una matrice. Secondo Teorema di Laplace. Matrice
aggiunta. Formula di aggiunzione. Formula per la matrice inversa.
Regola di Cramer. [Cap. 3]
14 ottobre 2015 Lezione 18
Dimostrazione del Teorema di
Cramer. Spazio delle righe di una matrice. Spazio delle colonne. Minore di una
matrice. Minore principale. Rango per righe. Rango per colonne. Rango per
minori. Il rango per righe coincide con il rango per pivot.
[Cap. 3]
15 ottobre 2015 Lezione 19
Il rango per colonne di una
matrice è uguale al rango per pivot. Teorema degli orlati.
Il rango per minori di una
matrice è uguale al rango per pivot. Estrazione di una base. [Cap. 3]
16 ottobre 2015 Lezione Annullata (disposizione
facoltà: Maker Faire)
19 ottobre 2015 Lezione 20
Introduzione alla
diagonalizzazione di matrici. Autovalori e autovettori. Polinomio
caratteristico (monico). Equazione caratteristica. [Cap.4]
20 ottobre 2015 Lezione 21
Diagonalizzazione e base di
autovettori. Condizione sufficiente per la diagonalizzazione. Molteplicità
algebrica e molteplictà geometrica. Condizione necessaria e sufficiente per la
diagonalizzazione. Traccia di una matrice. [Cap. 4]
21 ottobre 2015 Lezione 22
Matrici simili. Proprietà.
Formula per il polinomio caratteristico. Teorema di Cayley-Hamilton (senza
dimostrazione) e applicazione al calcolo dell’inversa di una matrice e di
potenze della matrice. [Cap. 4]
22 ottobre 2015 Lezione 23
Definizione di vettore
libero. Operazioni sui vettori liberi. Spazio vettoriale V2 dei
vettori liberi. Sistema di riferimento cartesiano ortogonale e identificazione
tra V2 e R2. Base ortonormale.
Coordinate cartesiane di un vettore libero. Parallelismo tra vettori.
Condizione di allineamento di tre punti e equazione cartesiana di una retta del
piano. [Cap. 5]
23 ottobre 2015 Lezione 24
Prodotto scalare. Definizione
e proprietà. Proiezione ortogonale di un vettore su un altro. Coefficiente di
Fourier. Normalizzazione di un vettore. Formula intrinseca del prodotto
scalare. Formula per il coseno dell’angolo tra due vettori. Formula per l’area
di un triangolo. [Cap. 5]
26 ottobre 2015 Lezione 25
Casi particolari
dell’equazione di una retta. Equazioni parametriche di una retta. Parametri
direttori. Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane e viceversa.
Condizione di parallelismo tra due rette. Coseni direttori. Rette orientate.
Angolo tra due rette orientate. [Cap. 5]
27 ottobre 2015 Lezione 26
Fascio proprio e improprio di
rette. Vettore normale ad una retta. Condizione di perpendicolarità di due
rette. Angolo tra due rette orientate. Distanza punto-retta.
[Cap. 5]
28 ottobre 2015 Lezione 27
Esercizi.
29 ottobre 2015 Lezione 28
Esercizi. Introduzione ai
cambiamenti di riferimento. Sistemi equiversi e contraversi.
[Cap. 5]
30 ottobre 2015 Lezione 29
Equazioni di cambiamento di
riferimento di coordinate di vettore e di punto. Matrice del cambiamento.
Matrice del cambiamento inverso. Matrice ortogonale.
[Cap. 5]
Introduzione allo studio
delle coniche. [Cap. 6]
2 novembre 2015 Lezione 30
Equazione cartesiana di una
circonferenza. Definizione delle coniche come particolari luoghi geometrici.
Caso dell’ellisse: equazione canonica, direttrice, eccentricità, fuochi. [Cap.
6]
·
AVVISO: Il giorno giovedì 12 novembre alle ore 17 in aula 2 si terrà una
esercitazione straordinaria di geometria.
Per questa esercitazione occorrono degli studenti volontari che
“guideranno” l’esercitazione. Ciascun volontario può scegliere a piacere
l’argomento di una giornata delle lezioni tenute fino al giorno prima. Su
quell’argomento deve prepararsi ad esporlo con coerenza in aula (come facesse
la lezione) e prepararsi ad essere interrotto da domande del docente o dei
colleghi studenti. Entro mercoledì 11 mi
aspetto, via mail, le candidature dei volontari e l’indicazione degli argomenti scelti. Avremo
a disposizione l’aula per due ore.
3 novembre 2015 Lezione 31
Equazione canonica
dell’iperbole e della parabola. Asintoti. [Cap. 6]
Definizione ed esempi di
conica generale e conica degenere. Matrice di una conica. Criterio per
riconoscere se una conica è generale o meno. [Cap. 7]
4 novembre 2015 Lezione 32
Classificazione delle
coniche. Coniche generali a centro. Riduzione a forma canonica di un’iperbole.
[Cap. 7] Esercizio iperbole
5 novembre 2015 Lezione 33
Riduzione a forma canonica di
una parabola. Asse di simmetria e vertice della parabola. Metodo degli
invarianti. [Cap. 7] Esercizio parabola
6 novembre 2015 Lezione 34
Ampliamento del piano e
coordinate omogenee. Punti all’infinito di una conica. Classificazione di una
conica secondo le intersezioni con la retta impropria.
Ricerca dei parametri
direttori degli asintoti di un’iperbole e dell’asse di simmetria di una
parabola. [Cap. 7]
9 novembre 2015 Lezione 35
Coordinate polari. Equazioni
cartesiane, polari e parametriche di curve piane. Alcune curve piane notevoli:
cardioide, cicloide. Equazioni polari delle coniche generali. [Cap. 8]
10 novembre 2015 Lezione 36
Coordinate e vettori nello
spazio. Prodotto vettoriale. Prodotto misto. [Cap. 9]
11 novembre 2015 Lezione 37
Significato geometrico del
prodotto misto. Equazione cartesiana di un piano. Parallelismo di due piani.
Fasci di piani. Equazioni di una retta nello spazio.
[Cap. 9]
12 novembre 2015 Lezione 38
Equazioni cartesiane ridotte
di una retta. Equazioni parametriche di una retta. Parametri direttori.
Parallelismo di rette. Complanarità di rette. Rette sghembe.
[Cap. 9]
12 novembre 2015 Esercitazione straordinaria
ore 17 aula 2
Argomenti di
ripasso presentati dagli studenti.
13 novembre 2015 Lezione 39
Mutue posizioni di rette.
Angoli. Parallelismo di retta e piano. Perpendicolarità di retta e piano.
Perpendicolarità di due piani. [Cap. 9]
16 novembre 2015 Lezione 40
Distanze punto-piano e tra
due piani paralleli. Distanza tra due rette parallele. Distanza tra due rette
sghembe: metodo dei punti mobili e formula mediante il prodotto misto.
Definizione di sfera e primi esempi di quadriche in forma canonica. [Cap. 9] Esercizio sulla distanza di rette
sghembe
17 novembre 2015 Lezione 41
Quadriche in forma canonica.
Esempi. [Cap. 9]
Sperimentare
con le quadriche con Geogebra
18 novembre 2015 Lezione 42
Equazioni cartesiane di
sottospazi vettoriali di Rn.
Definizione astratta di spazio vettoriale. Esempi. Spazi vettoriali su campi
diversi da R. [Cap. 10]
19 novembre 2015 Lezione 43
Altri esempi di spazi e
sottospazi vettoriali: funzioni di variabile reale, successioni. Base come
insieme minimale di generatori o come insieme massimale di vettori linearmente
indipendenti. Teorema di completamento ad una base e di riduzione ad una base
(dimostrazioni facoltative). [Cap. 10]
20 novembre 2015 Lezione 44
Intersezione e somma di
sottospazi. Somma diretta di sottospazi. Formula di Grassmann. [Cap. 10]
(N.B. Le dimostrazioni del
capitolo 10 sono facoltative. Essenziali sono invece le definizioni, gli esempi
e gli enunciati delle proposizioni o teoremi).
23 novembre 2015 Lezione 45
Definizione di applicazione
lineare. Esempi: applicazioni lineari di V2 (endomorfismi). Applicazione lineare indotta da una
matrice. Nucleo e immagine di una applicazione lineare. [Cap. 11]
24 novembre 2015 Lezione 46
Proprietà delle applicazioni
lineari. Isomorfismi. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Matrici
associate ad applicazioni lineari tra due spazi vettoriali (di dimensione
finita) arbitrari. [Cap. 11]
25 novembre 2015 Lezione 47
Teorema delle dimensioni.
Dimostrazione del teorema. Conseguenze e applicazioni. [Cap. 11] Esercizi
26 novembre 2015 Lezione 48
Cambiamenti di base. Matrici
simili e endomorfismi. Endomorfismi e diagonalizzazione. [Cap. 11]
(N.B. Le dimostrazioni della sezione 11.3 sono
obbligatorie, quelle del resto del capitolo 11 sono facoltative. Essenziali,
come sempre, sono le definizioni, gli esempi e gli enunciati delle proposizioni
o teoremi).
27 novembre 2015 Lezione 49
Spazi euclidei. Esistenza di
basi ortonormali. Procedimento di Gram-Schmidt. Proiezione ortogonale di un
vettore su un sottospazio. [Cap. 12]
30 novembre 2015 Lezione 50
Complemento ortogonale di un sottospazio. Rn come somma diretta di un sottospazio e del suo complemento ortogonale. Complemento ortogonale come nucleo dell’endomorfismo proiezione ortogonale. [Cap. 12] Esercizio
1 dicembre 2015 Lezione 51
Teorema di approssimazione.
Diagonalizzazione ortogonale. Proprietà delle matrici simmetriche. Teorema
degli assi principali (dimostrazione facoltativa). [Cap. 12]
(Delle
esercitazioni straordinarie si terranno il giorno 9 dicembre alle ore 14 in
aula 2 e il giorno 16 dicembre alle ore 14 sempre in aula 2. In entrambe gli
studenti devono essere parte attiva. Nella prima di esse vorrei ripetere il
tipo di esercitazione orale con possibilmente altri studenti volontari che si
preparino uno degli argomenti svolti
dopo le coniche. Nella seconda esercitazione decideremo insieme cosa sia
meglio fare.)
2 dicembre 2015 Lezione 52
Forme quadratiche.
Definizioni. Matrice associata alla forma. Caratterizzazione come conseguenza
del Teorema degli assi principali. Criterio di positività e negatività (senza
dimostrazione) mediante i minori principali. Soluzioni approssimate ai minimi
quadrati. Equazioni normali. [Cap. 12]
3 dicembre 2015 Lezione 53
Formula per la matrice
standard della proiezione ortogonale su un sottospazio.
Definizione di prodotto scalare in generale. Esempio del prodotto scalare in Pn.
Procedimento di Gram-Schmidt
in spazi euclidei generali. [Cap. 12] Esercizio
4 dicembre 2015 Lezione 54
Polinomi interpolatori di
Lagrange. Spazio euclideo di polinomi con diversi esempi di prodotto scalare.
Prodotto scalare su M(nxn). Prodotto scalare su spazio di funzioni continue.
Disuguaglianza di Schwarz (dimostrazione facoltativa). [Cap. 12]Esercizio
7 dicembre 2015 Lezione 55
Funzioni a valori vettoriali.
Derivate di prodotti scalari e vettoriali. Arco di curva regolare. Esempi.
Lunghezza di un curva. Curve rettificabili. [Cap. 13]
9 dicembre 2015 Lezione 56
Ascissa curvilinea.
Definizione e calcolo della tangente ad una curva. [Cap. 13]
Con questa lezione
abbiamo esaurito il materiale in programma. Le lezioni rimanenti, a partire dal
10 dicembre saranno dedicate a ripasso ed esercizi.
9
dicembre 2015 Esercitazione straordinaria aula 2 ore 14
10 dicembre 2015 Lezione 57
Svolgimento esercizi e ripasso.
11 dicembre 2015 Lezione 58
Svolgimento esercizi e ripasso.
14 dicembre 2015 Lezione 59
Svolgimento esercizi e ripasso.
15 dicembre 2015 Lezione 60
Svolgimento esercizi e ripasso.
16 dicembre 2015 Esercitazione
Svolgimento esercizi e ripasso.
16 dicembre 2015 ore 14 aula 2 Esercitazione
straordinaria
17 dicembre 2015 Esercitazione
Svolgimento esercizi e ripasso.
18 dicembre 2015 Esercitazione
Svolgimento esercizi e ripasso.
Bibliografia
Libro di testo (teoria):
S. Capparelli – A. Del Fra: Geometria, Nuova
edizione (copertina blu), (Esculapio, 2015)
ERRATA
CORRIGE (grazie delle segnalazioni, continuate a segnalare)
Libro di esercizi: S. Capparelli – A. Del Fra: Esercizi di Geometria, Esculapio, 2012 Errata Corrige
del libro di esercizi (Copertina marrone)
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